带标记构型空间上的分析与几何

我们在以 $M$ 中标记、基于黎曼流形 $X$ 的带标记构型空间 $\Omega^M_X$ 上开展分析与几何。我们假定 $M$ 是李群 $G$ 的齐性空间。取 $\Omega_X^M$ 上的变换群 $\frak A$ 为：$X$ 上紧支微分同胚群 $\operatorname{Diff}_0(X)$ 与光滑流 $G^X$（即所有在紧集外等于单位元的 $X$ 到 $G$ 的 $C^\infty$ 映射）的半直积在 $X\times M$ 上作用的“提升”。具 $X\times M$ 上 L\'evy 测度 $\sigma$ 的带标记 Poisson 测度 $\pi_\sigma$ 被证明在 $\frak A$ 作用下拟不变。继而，我们通过将 $X\times M$ 上相应几何自然“提升”导出 $\Omega_X^M$ 上的几何。特别地，我们构造了梯度 $\nabla^\Omega$ 与散度 $\operatorname{div}^\Omega$。其相伴体积元，即 $\Omega_X^M$ 上使 $\nabla^\Omega$ 与 $\operatorname{div}^\Omega$ 在 $L^2(\Omega_X^M;\mu)$ 中成为对偶算子的所有概率测度 $\mu$，被刻画为均值测度等于 $\sigma$ 之倍数的混合带标记 Poisson 测度。作为我们结果的直接推论，获得了群 $\frak A$ 及其李代数 $\frak a$ 的带标记 Poisson 空间表示。我们还研究了与（混合）带标记 Poisson 测度相关的 Dirichlet 形式与 Dirichlet 算子。