复合 Poisson 空间上的微分几何

本文对一类无穷维流形，即作为文献 \cite{AKR97} 工作的自然推广的复合构形空间，进行了分析与几何研究。更准确地说，我们在 Riemann 流形 $X$ 上的复合构形空间 $\Omega_{X}$ 上构造了微分几何。该几何是 $X$ 上 Riemann 结构的自然提升。特别地，我们构造了内蕴梯度、散度与 Laplace-Beltrami 算子。因此，可以定义 $L^{2}(\Omega_{X})$ 上相应的 Dirichlet 形式。证明了每个 Dirichlet 形式均与 $\Omega_{X}$ 上的一个扩散过程（即所谓的平衡过程）相关联，该过程不过是简单构形空间 $\Gamma_{X}$ 上的扩散过程连同相应的标记。作为我们结果的另一推论，我们在复合 Poisson 空间上得到了 $X$ 上紧支撑向量场的 Lie 代数的一个表示。最后，将复合 Poisson 测度替换为带标记 Poisson 测度的情形可由该构造轻易推得。