交叉数与缠结交叉数之间的类比

Tanglegram 是一种特殊的图，由一对具有相同叶子数量的有根二叉树及两个叶子集之间的完美匹配构成。这些对象在系统发生学中很有用，通常用直线画法表示，其中两棵平面二叉树的叶子分别位于两条平行线上，且只有匹配边可以交叉。tanglegram 的缠结交叉数是所有此类画法中的最小交叉数，并与生物学相关量有关，例如寄生虫更换宿主的次数。我们关于 tanglegram 的主要结果与已知的交叉数定理相平行，如下所示。在具有 $n$ 个叶子的 tanglegram 中移除单条匹配边，其缠结交叉数最多减少 $n-3$，且该界限是紧的。此外，如果 $\gamma(n)$ 是具有 $n$ 个叶子的 tanglegram 的最大缠结交叉数，我们证明 $\frac{1}{2}\binom{n}{2}(1-o(1))\le\gamma(n)<\frac{1}{2}\binom{n}{2}$。进一步，我们提供了一种在 $O(n^4)$ 时间内计算缠结交叉数非平凡下界的算法。该下界可以是紧的，即使对于缠结交叉数为 $\Theta(n^2)$ 的 tanglegram 也是如此。