缠结图的最大交叉数

缠结图 $\cal T$ 由两棵具有相同叶数的有根二叉树，以及两个叶集之间的一个完美匹配构成。在一种布局中，缠结图将叶子绘制在两条平行线上，由这些线所围成条带两侧的树作为平面树绘制，完美匹配在条带内以直线段绘制。缠结图 $\cal T$ 的缠结图交叉数 ${\rm cr}({\cal T})$ 是在 $\cal T$ 的所有可能布局中，匹配边两两交叉数的最小值。缠结图的大小为匹配边的数量，记为 $n$。早前论文表明，大小为 $n$ 的缠结图交叉数的最大值 $<\frac{1}{2}\binom{n}{2}$；但对于无穷多个 $n$，其至少达到 $\frac{1}{2}\binom{n}{2}-\frac{n^{3/2}-n}{2}$。现在我们给出了更优的界：大小为 $n$ 的缠结图的最大交叉数至多为 $\frac{1}{2}\binom{n}{2}-\frac{n}{4}$，但对于无穷多个 $n$，至少为 $\frac{1}{2}\binom{n}{2}-\frac{n\log_2 n}{4}$。该问题与 Gale 和 Berlekamp 的非平衡灯问题具有类比性。