图燃烧数的一个上界

图 $G$ 的燃烧数 $b(G)$ 由 Bonato、Janssen 和 Roshanbin [Lecture Notes in Computer Science 8882 (2014)] 引入，用于衡量图中传染扩散的速度。他们证明了对于任意 $n$ 阶连通图 $G$，有 $b(G)\leq 2\lceil \sqrt{n} \rceil-1$，并猜想 $b(G)\leq \lceil \sqrt{n} \rceil$。在本文中，我们证明了 $b(G)\leq \lceil\frac{-3+\sqrt{24n+33}}{4}\rceil$，该值大致为 $\frac{\sqrt{6}}{2}\sqrt{n}$。我们还解决了 Bonato-Janssen-Roshanbin 的以下猜想：若 $G$ 和 $\bar G$ 均连通，则 $b(G)b(\bar G)\leq n+4$。