基于LP的强多项式2-近似算法求解稀疏Wasserstein重心

离散Wasserstein重心对应于具有有限支撑的一组概率测度的运输问题的最优解。离散重心本身也是具有有限支撑的测度，并展现出两个有利性质：总存在一个具有可证明稀疏支撑的重心，且到输入测度的任何最优运输均不分裂质量。离散重心是否能在多项式时间内计算仍是开放问题。通过线性规划可以找到精确重心，但这些规划可能呈指数级规模。本文中，我们证明存在一种基于线性规划的强多项式2-近似算法。首先，我们证明对输入测度支撑的并集进行精确计算可给出紧的2-近似。该计算可通过一个在强多项式时间内完成构建与求解的线性规划实现。所得测度是稀疏的，但最优运输可能分裂质量。随后我们设计第二种强多项式算法，将该测度改进为具有更低代价的非质量分裂运输的测度。关键步骤是更新可能的支撑集以解决质量分裂。最后，我们设计了一种迭代方案，在两种算法间交替。算法终止时得到一个同时具有稀疏支撑和相关的非质量分裂最优运输的2-近似。我们以一些样例计算以及对算法规模的分析作结，展示了相较基于精确LP的计算在运行时间上的巨大提升以及较低的实际误差。