无原始递归的弱柯尼希引理模型的一个同构定理

我们证明如果 $(M,\mathcal{X})$ 与 $(M,\mathcal{Y})$ 是理论 $\mathrm{WKL}^*_0$ 的可数模型，且对某个 $A \in \mathcal{X} \cap \mathcal{Y}$ 有 $\mathrm{I}\Sigma_1(A)$ 失败，则 $(M,\mathcal{X})$ 与 $(M,\mathcal{Y})$ 同构。作为推论，在分析分层中，$\Delta^1_1$ 在 $\mathrm{WKL}^*_0 + \neg\mathrm{I}\Sigma^0_1$ 中可证地坍缩，且 $\mathrm{WKL}$ 是在 $\mathrm{RCA}^*_0 + \neg\mathrm{I}\Sigma^0_1$ 上 $\Pi^1_1$-保守的最强 $\Pi^1_2$ 语句。将我们的结果应用于 $\mathrm{RCA}^*_0 + \mathrm{B}\Sigma^0_n + \neg\mathrm{I}\Sigma^0_n$ 模型中（这些模型也满足弱柯尼希引理的适当相对化）的 $\Delta^0_n$-可定义集，我们证明对每个 $n \ge 1$，在 $\mathrm{RCA}^*_0 + \mathrm{B}\Sigma^0_n + \neg\mathrm{I}\Sigma^0_n$ 上 $\Pi^1_1$-保守的 $\Pi^1_2$ 语句的集合是 c.e. 的。作为对比，我们证明在 $\mathrm{RCA}^*_0 + \mathrm{B}\Sigma^0_n$ 上 $\Pi^1_1$-保守的 $\Pi^1_2$ 语句的集合是 $\Pi_2$-完全的。这回答了 Towsner 的一个问题。我们还证明 $\mathrm{RCA}_0 + \mathrm{RT}^2_2$ 在 $\mathrm{B}\Sigma^0_2$ 上 $\Pi^1_1$-保守当且仅当它关于 $\forall \Pi^0_5$ 语句在 $\mathrm{B}\Sigma^0_2$ 上保守。