若无穷可弱，拉姆齐定理有多强？
摘要
我们研究在相对弱的二阶算术理论 RCA^*_0 上，对固定的 n, k ≥ 2 的 n-元组 k-着色拉姆齐定理（Ramsey's Theorem）的一阶推论。利用 Chong-Mourad 编码引理，我们证明了在 RCA^*_0 + ¬ IΣ^0_1 的一个模型中，RT^n_k 等价于其对任意恰当 Σ^0_1-可定义截口的自身相对化，因此其真值在模型所有具有相同一阶论域的扩张中保持不变。我们给出了 n ≥ 3 时 RCA^*_0 + RT^n_k 的一阶推论的公理化。我们证明它们构成了 PA 的一个非有限可公理化子理论，其 Π_3 片段为 BΣ_1 + exp，且对 ℓ ≥ 1 其 Π_{ℓ+3} 片段介于 IΣ_ℓ ⇒ BΣ_{ℓ+1} 与 BΣ_{ℓ+1} 之间。我们还考虑了 RCA^*_0 + RT^2_k 的一阶推论。我们证明它们构成了 IΣ_2 的一个子理论，其 Π_3 片段为 BΣ_1 + exp，其 Π_4 片段严格弱于 BΣ_2 但不包含于 IΣ_1。此外，我们考虑原则 Δ^0_2-RT^2_2，其定义类似于 RT^2_2，但允许 2-着色和解均为 Δ^0_2-集。我们证明 Δ^0_2-RT^2_2 在 RCA_0 + BΣ^0_2 上的行为与 RT^2_2 在 RCA^*_0 上的行为相似，且 RCA_0 + BΣ^0_2 + Δ^0_2-RT^2_2 在 BΣ_2 上是 Π_4- 但非 Π_5-保守的。然而，我们用于见证缺乏 Π_5-保守性的陈述在 RCA_0 + RT^2_2 中不可证。
引用
@article{arxiv.2011.02550,
title = {How strong is Ramsey's theorem if infinity can be weak?},
author = {Leszek Aleksander Kołodziejczyk and Katarzyna W. Kowalik and Keita Yokoyama},
journal= {arXiv preprint arXiv:2011.02550},
year = {2021}
}
备注
20 pages. Appendix with proof of proof-theoretic lemma added. Minor editorial changes throughout the text