弱基理论下拉姆齐定理的较弱推论

本文致力于对拉姆齐定理用于对的若干著名推论进行逆数学研究，聚焦于链-反链原理 $\mathsf{CAC}$、升-降序列原理 $\mathsf{ADS}$ 以及对偶的凝聚拉姆齐定理 $\mathsf{CRT}^2_2$。我们在基理论 $\mathsf{RCA}^*_0$ 下研究这些原理，该理论弱于逆数学中通常考虑的基理论 $\mathsf{RCA}_0$，因为它仅允许 $\Delta^0_1$-归纳而非 $\Sigma^0_1$-归纳。在 $\mathsf{RCA}^*_0$ 中，可能出现 $\mathbb{N}$ 的无界子集与 $\mathbb{N}$ 不存在双射对应的情况。因此，拉姆齐型原理至少分裂为“正规”与“长”两种变体，取决于见证该原理的集合被要求为无穷的意义。我们证明，我们原理的正规版本（如用于对和两种颜色的拉姆齐定理）等价于其对恰当 $\Sigma^0_1$-可定义截口的相对化。由此，它们在 $\mathsf{RCA}^*_0$ 上均为 $\Pi^0_3$-但非 $\Pi^1_1$-保守的，并且在任意 $\mathsf{RCA}^*_0 + \neg \mathsf{RCA}_0$ 的模型中，若它们成立则相对于某集合是可计算成立的。长版本表现出两种行为之一：要么在 $\mathsf{RCA}^*_0$ 上蕴涵 $\mathsf{RCA}_0$，要么在 $\mathsf{RCA}^*_0$ 上是 $\Pi^0_3$-保守的。保守结果借助所谓分组原理的一个变体获得。我们还证明凝聚原理 $\mathsf{COH}$（$\mathsf{CRT}^2_2$ 的强化）在 $\mathsf{RCA}^*_0$ 的模型中永不可计算成立，并因此不在 $\mathsf{RCA}^*_0$ 上由 $\mathsf{RT}^2_2$ 推出。