一些逻辑上弱的拉姆齐型定理

我们从逆向数学的角度研究拉姆齐定理的四族推论。第一族称为无色拉姆齐定理，源自Erdős、Hajnal和Rado引入的一个划分关系：$\omega \to [\omega]^r_{c,\leq d}$，它断言对于每个$f: [\omega]^r \to c$，存在一个无限集$H$使得$|f([H]^r)| \leq d$。第二族和第三族是Harvey Friedman引入的自由集定理和薄集定理。最后一族是彩虹拉姆齐定理。我们证明，这些族中的大多数定理相当弱，即它们在$\RCA_0$上严格弱于$\operatorname{ACA}_0$。有趣的是，这些族被发现密切相关。我们通过指数归纳建立了无色拉姆齐定理的大多数实例的所谓强锥回避性质，然后应用此性质及类似的归纳得到自由集定理的强锥回避性质。从无色拉姆齐定理和自由集定理的强锥回避性质，我们推导出薄集定理和彩虹拉姆齐定理的强锥性质。由此容易推出，具有强锥回避性质的定理在$\RCA_0$上不蕴含$\operatorname{ACA}_0$。