$\mathbb{F}_p$ 中的逆定理与无彩虹着色

设 $\mathbb{F}_p$ 为具有 $p$ 个元素的域（$p$ 为素数），$X_1,\ldots, X_n$ 为 $\mathbb{F}_p$ 中两两不相交且元素个数均至少为 $3$ 的子集，满足 $\sum_{i=1}^n|X_i|\leq p-5$，$\mathbb{S}_n$ 为 $\{1,2,\ldots, n\}$ 的置换集合。若 $a_1,\ldots,a_n\in\mathbb{F}_p^*$ 不全相等，我们刻画满足 \begin{equation*} \Bigg|\bigcup_{\sigma\in\mathbb{S}_n}\sum_{i=1}^na_{\sigma(i)}X_i\Bigg|\leq \sum_{i=1}^n|X_i|. \end{equation*} 的子集 $X_1,\ldots, X_n$。该结果有如下应用：对于 $n\geq 2$、$b\in\mathbb{F}_p$ 以及上述的 $a_1,\ldots, a_n$，我们刻画满足 $\bigcup_{i=1}^nC_i=\mathbb{F}_p$ 的着色，其中每个颜色类至少有 3 个元素，使得方程 $\sum_{i=1}^na_ix_i=b$ 没有彩虹解。