一个与 Geng-Xue 双分量峰孤子方程相关的逆谱问题

我们求解了一个谱问题和一个逆谱问题，这些问题出现在计算 Geng 和 Xue 导出的双分量偏微分方程的峰孤子解的过程中，该方程是 Novikov 方程和 Degasperis-Procesi 方程的推广。与这些方程的谱问题类似，该问题属于“离散立方弦”类型——即经典非均匀弦的非自伴推广——但呈现出一些有趣的新特征：存在两个 Lax 对，它们共同贡献于正确的完整谱数据，且逆问题的解可以用与具有两个不同谱测度的 Cauchy 双正交多项式相关的量来表示。后者扩展了 Cauchy 双正交多项式在峰孤子中的应用范围，此前的应用仅涉及两个相同或两个密切相关的测度。用于求解谱问题的方法依赖于 Gantmacher-Krein 型振荡核的隐含存在，这意味着边值问题的谱是正且单的。逆谱问题是通过一种方法求解的，该方法将 M. G. Krein 对 Stieltjes 弦逆问题的解推广到了非自伴情形。