离散粗糙微分方程的插值及其在误差分布分析中的应用

我们考虑由 Hurst 参数 $1/3<H\leq 1/2$ 的分数布朗运动 $B_t$ 驱动的粗糙微分方程在 $[0,1]$ 的二进分割下的解 $Y_t$ $(0\le t\le 1)$ 以及若干近似解 $\hat{Y}^m_t$。我们关注当 $m\to\infty$ 时 $\hat{Y}^m_t-Y_t$ 的渐近误差分布分析。在先前的结果中，已证明 $\{(2^m)^{2H-1/2}(\hat{Y}^m_t-Y_t)\}_{0\le t\le 1}$ 的弱极限与 $\{(2^m)^{2H-1/2}J_tI^m_t\}_{0\le t\le 1}$ 的弱极限一致，其中 $J_t$ 是 $Y_t$ 的 Jacobian 过程，$I^m_t$ 是由 $B_t$ 定义的二阶 Wiener 混沌的某种加权和过程。然而，将关于 $\hat{Y}^m_t-Y_t$ 的问题化简为关于 $J_t$ 和 $I^m_t$ 的问题并非平凡。本文引入 $Y_t$ 与 $\hat{Y}^m_t$ 之间的一个插值过程，并给出该插值过程本身及其关联过程的若干估计。该分析提供了一个处理化简问题的框架，并给出了更强的结论：相较于主项 $J_tI^m_t$，差值 $R^m_t=\hat{Y}^m_t-Y_t-J_tI^m_t$ 确实很小。更精确地，我们证明了对某个显式的正数 $\varepsilon>0$，有 $(2^m)^{2H-1/2+\varepsilon}\sup_{0\leq t\leq 1}|R^m_t|\to 0$ 几乎必然且在 $L^p$ 中成立（对所有 $p>1$）。作为推论，我们也得到了 $\sup_{0\leq t\leq 1}|\hat{Y}^m_t-Y_t|\to 0$ 在 $L^p$ 中的收敛速率估计。