一个在正交多项式中具有应用的积分恒等式

对于 $\boldsymbol{\large {\lambda}} = (\lambda_1,\ldots,\lambda_d)$ 且 $\lambda_i > 0$，证明了 \begin{equation*} \prod_{i=1}^d \frac{ 1}{(1- r x_i)^{\lambda_i}} = \frac{\Gamma(|\boldsymbol{\large {\lambda}}|)}{\prod_{i=1}^{d} \Gamma(\lambda_i)} \int_{\mathcal{T}^d} \frac{1}{ (1- r \langle x, u \rangle)^{|\boldsymbol{\large {\lambda}}|}} \prod_{i=1}^d u_i^{\lambda_i-1} du, \end{equation*} 其中 $\mathcal{T}^d$ 是 $\mathbb{R}^d$ 的齐次坐标中的单纯形，由此推导出不同指标的 Gegenbauer 多项式的一个新积分关系。后一结果被用于推导单位立方体和单位球上正交多项式再生核的闭式公式。