关于 $k$-支配独立集最大个数的改进

Erd\H{o}s 和 Moser 提出了确定 $n$ 个顶点的图中极大团的最大数目或等价地极大独立集的最大数目的问题。此后沿这些方向有大量研究。$k$-支配独立集是一个独立集 $D$，使得不在 $D$ 中的每个顶点在 $D$ 中至少有 $k$ 个邻居。令 $mi_k(n)$ 表示 $n$ 个顶点的图中 $k$-支配独立集的最大数目，并令 $\zeta_k := \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{mi_k(n)}$。Nagy 发起了 $mi_k(n)$ 的研究。本文反驳了 Nagy 的一个猜想，并证明对任意偶数 $k$ 有 $$1.489 \approx \sqrt[9]{36} \le \zeta^k_k.$$ 我们还证明对任意 $k \ge 3$ 有 $$\zeta_k^{k} \le 2.053^{\frac{1}{1.053+1/k}}< 1.98,$$ 改进了 Nagy 的上界。