对 Prouhet 1851 年关于多重幂链结果的改进

1851 年 Prouhet 证明：当 $N=j^{k+1}$，其中 $j$ 和 $k$ 为正整数且 $j \geq 2$ 时，前 $N$ 个连续正整数可分成 $j$ 个集合，每个集合含 $j^k$ 个整数，使得对每个集合，其元素 $r$ 次幂之和在 $r=1,\,2,\,\ldots,\,k$ 时均相同。本文中我们证明，即使 $N$ 取小得多的值 $2j^k$，前 $N$ 个连续正整数也可分成 $j$ 个集合，每个集合含 $2j^{k-1}$ 个整数，使得各集合元素的 $r$ 次幂之和在 $r=1,\,2,\,\ldots,\,k$ 时相等。此外，我们证明这能以至少 $\{(j-1)!\}^{k-1}$ 种方式实现。我们还证明存在无穷多个其他正整数 $N=js$，使得前 $N$ 个连续正整数可类似地分成 $j$ 个整数集合，每集合含 $s$ 个整数，且 $r$ 次幂之和在 $r=1,\,2,\,\ldots,\,k$ 时相等，其中 $k$ 的值依赖于整数 $N$。