二项信道容量实现输入分布支撑大小的改进下界：扩展版

我们研究二项信道及其容量实现输入与输出分布的结构。已知容量实现的输入分布是离散的，且支撑在有限多个点上。已知的最佳界限显示，容量实现分布的支撑大小下界为 $\sqrt n$ 量级，上界为 $n/2$ 量级，其中 $n$ 为试验次数。在本工作中，我们推导了支撑大小 $\sqrt{n\log\log n}$ 量级的新下界，包含显式常数。该证明包含三个主要步骤。首先，我们推导了在 $n\to\infty$ 时间隙消失的容量上、下界，从而得到 $C(n)=\frac12\log\frac{n\pi}{2e}+o(1)$。其次，我们表明以 Beta 分布 $X_r\sim\mathrm{Beta}(1/2,1/2)$ 为参考输入诱导出的 Beta-二项输出分布在渐近上是最优的：它在相对熵和 $\chi^2$ 散度中逼近容量实现的输出分布。最后，我们证明了一个定量的 $\chi^2$ 近似下界，表明该 Beta-二项输出无法被 K 点输入诱导出的输出分布太好地近似。将这些要素组合起来，迫使容量实现的输入分布至少有 $\sqrt{n\log\log n}$ 个质点。