度修正植入分区模型中的重构不可能性结果

我们考虑度修正随机块模型(DC-SBM)：一个在$n$个节点上的随机图，具有独立同分布权重$(\phi_u)_{u=1}^n$(可能重尾)，被划分为$q \geq 2$个渐近等大小的簇。模型参数为两个常数$a,b > 0$以及权重的有限二阶矩$\Phi^{(2)}$。当$u$和$v$在同一类时，它们以概率$\frac{\phi_u \phi_v}{n}a$被一条边连接，否则以概率$\frac{\phi_u \phi_v}{n}b$连接。我们证明，当$(a-b)^2 \Phi^{(2)} \leq q(a+b)$时，以与真实社区结构正相关的方式估计簇在信息论上是不可能的。作为我们证明的副产品，我们得到$(1)$ DC-SBM中局部邻域的一个精确耦合结果，我们在后续论文[Gulikers et al., 2017]中将其用于建立局部泛函的大数定律，以及$(2)$ 在(幂律)DC-SBM中长程相互作用是弱的。