植入划分模型的邻近性与不可重构结果：稠密情形

我们考虑 $n$ 个节点上具有渐近相等簇大小的二块随机块模型。簇内和簇间的连接概率分别记为 $p_n:=\frac{a_n}{n}$ 和 $q_n:=\frac{b_n}{n}$。Mossel 等人 (2012) 考虑了 $a_n=a$ 和 $b_n=b$ 固定的情形。他们证明了当 $(a-b)^2<2(a+b)$ 时，随机块模型的概率模型与具有相同平均度的 Erdős-Rényi 图的概率模型相互邻近，而当 $(a-b)^2>2(a+b)$ 时渐近奇异。Mossel 等人 (2012) 还证明了当 $(a-b)^2<2(a+b)$ 时，没有任何算法能够找到与真实标记正相关的节点标记估计。自然地，我们会问当 $a_n$ 和 $b_n$ 都趋于无穷大时会发生什么。我们证明了他们的结果可以推广到 $a_n=o(n)$ 且 $b_n=o(n)$ 的情形。我们还考虑了 $\frac{a_n}{n} \to p \in (0,1)$ 且 $(a_n-b_n)^2= \Theta(a_n+b_n)$ 的情形。注意到在此情形下也有 $\frac{b_n}{n} \to p$。我们证明了在此情形下，若 $(a_n-b_n)^2< 2(1-p)(a_n+b_n)$，则模型相互邻近；若 $(a_n-b_n)^2 > 2(1-p)(a_n+b_n)$，则它们渐近奇异。此外我们还证明，当 $(a_n-b_n)^2< 2(1-p)(a_n+b_n)$ 时，不可能找到与真实标记正相关的节点标记估计。本文的结果证实了 Decelle 等人 (2011) 针对稠密图所作猜想中否定的部分。