稀疏块模型之间的最优耦合

我们研究将一个具有植入对分的随机块模型与具有相同平均度数的均匀随机图相耦合的问题。聚焦于平均度数相对于顶点数 $n$ 为常数的情形,我们证明随着块模型中植入对分的变化,模型可被耦合的距离经历从 $O(\sqrt{n})$ 到 $\Omega(n)$ 的相变。这解决了 Bollob\'{a}s 和 Riordan 猜想的一半,并对稀疏图极限理论有一定启示。特别地,在某些参数范围内,块模型与相应的均匀模型所产生的样本必然收敛到同一极限点。这意味着,对于任何具有 $\Theta(n)$ 条边的图序列的收敛概念,若允许来自极限对象的样本收敛回该极限本身,则必须将这些模型视为等同。