一个例外的 7 维实代数：Octonions、$G_2$ 与 Fano 平面

我们研究了一个七维非结合代数——称为“例外 Vidinli 代数”的代数，通过将 H"{u}seyin Tevfik Pasha (Vidinli) 于 1882 年从三维提升到七维的双线性乘积（即八数乘积的叉乘）所定义。该代数是单位化、简单且非结合的，其自同构群为 $U(3)$。其乘法可标准分解为一个简单 Jordan 代数和一个 Heisenberg Lie 代数，实现了例外 Vidinli 代数的 Jordan-Lie 结构。每个主 2 平面均同构于 $\C$，每个主 3 平面均同构于下文引入的扭转 Vidinli 代数。%当参数 $t$ 变化时，完整的扭转族 $\{\mathcal{V}_t\}$ 被实现于 $\V_7$ 中。主要结果是该叉乘在 $(\Z/2)^3$ 下的 $\mathbb{Z}/2$ grading，使得该例外 Vidinli 代数的乘法表由三个显式规则决定，这三个规则无需引用校准形式。该 grading 统一了三个结构通过单个群：Fano 平面 $\mathrm{PG}(2,2)$，其线对应于 Vidinli 子代数和 Vidinli-Jordan 子代数，%$\V_7$ 中的离散方向 Vidinli 代数族由 $(\Z/2)^3$ 非零元索引，以及基元对的 Heisenberg 分区，后者将 Fano 关联关系实现为交换子条件。 resulting Fano-Vidinli duality identifies $(\Z/2)^3$ as the common source of both the Fano geometry and the Vidinli family.