夸曼零除子几何

夸曼代数 $\mathbb S$ 为非交换、非结合的16维实代数，包含零除子。其通过 Cayley-Dickson 构造从八元数（octonions）中得到。夸曼零除子可视为正规化配对乘积为零的子流形 $\mathcal Z(\mathbb S) \subset \mathbb S \times \mathbb S$，或作为正规化元素且具有非平凡消元子的子流形 $\operatorname{\mathit {ZD}}(\mathbb S) \subset \mathbb S$。我们证明 $\mathcal Z(\mathbb S)$ 等距于例外 Lie 群 $G_2$，并配以自然齐变左不变度量。此外，$\mathcal Z(\mathbb S)$ 是八元数代数中四元子子代数的例外对称空间上的黎巴洛瓦测地面积的总空间，纤维局部等距于两个半径不同的圆3球的乘积。我们进一步证明 $\operatorname{\mathit {ZD}}(\mathbb S)$ 等距于斯蒂弗曼流形 $V_2(\mathbb R^7)$，即 $\mathbb R^7$ 中正交2框的空间，配以特定 $G_2$ 变不变度量。通过沿圆纤维收缩该度量，我们构造新的爱因斯坦度量及一族在 $V_2(\mathbb R^7)$ 上具有非负曲率的齐次度量。