Banach 与 Hilbert 流形一例：万有 Teichmüller 空间

对于 $s >\frac{3}{2}$，圆周的 Sobolev 类 s 微分同胚群是一个以圆周切丛的 Sobolev 类 s 截面空间为模型的光滑流形。它是一个拓扑群，其意义在于由映射复合给出的乘法是良定义且连续的，逆映射连续，左平移连续而右平移光滑。这些结果是 Sobolev 引理的推论。出于同样的原因，对于 $s >\frac{3}{2}$，保持三个点的圆周 Sobolev 类 s 微分同胚子群是一个以在这三点处消失的 Sobolev 类 s 向量场空间为模型的光滑流形与拓扑群。人们可以询问在临界值 $\frac{3}{2}$ 处会发生什么，并寻找一个具有一定正则性与流形结构、使得单位元处的切空间同构于在三个给定点处消失的 Sobolev 类 $\frac{3}{2}$ 向量场空间的群。万有 Teichmüller 空间满足这些条件。