畸变 Hencky-对数应变能的椭圆性域

我们描述了 $n=2,3$ 时等容弹性能量 $F\mapsto \|{\rm dev}_n\log U\|^2=\bigg\|\log \frac{\sqrt{F^TF}}{(\det F)^{1/n}}\bigg\|^2 =\frac{1}{4}\,\bigg\|\log \frac{C}{({\rm det} C)^{1/n}}\bigg\|^2$ 的椭圆性域，其中对于 $F\in {\rm GL}^+(n)$ 有 $C=F^TF$。此处，${\rm dev}_n\log {U} =\log {U}-\frac{1}{n}\, {\rm tr}(\log {U})\cdot 1\!\!1$ 是对数应变张量 $\log U$ 的偏量部分。对于 $n=2$，我们确定了最大椭圆性域；而对于 $n=3$，我们证明该能量在集合 $\mathcal{E}_3\bigg(W_{_{\rm H}}^{\rm iso}, {\rm LH}, U, \frac{2}{3}\bigg)\,:=\,\bigg\{U\in{\rm PSym}(3) \;\Big|\, \|{\rm dev}_3\log U\|^2\leq \frac{2}{3}\bigg\}$ 中是 Legendre-Hadamard 椭圆性的，这类似于 von-Mises-Huber-Hencky 最大畸变应变能准则。我们的结果补充了 Bruhns 等人先前获得的二次 Hencky 能量 $W_{_{\rm H}}(F)=\mu \,\|{\rm dev}_3\log U\|^2+ \frac{\kappa}{2}\,[{\rm tr} (\log U)]^2$（$U=\sqrt{F^TF}$，且 $\mu>0$、$\kappa>\frac{2}{3}\, \mu$）的椭圆性域刻画。