固体力学中对数应变度量的几何性质

我们考虑两个对数应变度量$$\omega_{\rm iso}=\|\mathrm{dev}_n\log U\|=\|\mathrm{dev}_n\log \sqrt{F^TF}\|\quad\text{ and }\quad \omega_{\rm vol}=|\mathrm{tr}(\log U)|=|\mathrm{tr}(\log\sqrt{F^TF})|\,$$它们是Hencky应变张量$\log U$的各向同性不变量，并展示它们能基于一般线性群$\mathrm{GL}(n)$上的测地距离通过纯几何方法唯一表征。此处，$F$为变形梯度，$U=\sqrt{F^TF}$为右Biot拉伸张量，$\log$表示主矩阵对数，$\|.\|$为Frobenius矩阵范数，$\mathrm{tr}$为迹算子，$\mathrm{dev}_n X$是$X\in\mathbb{R}^{n\times n}$的$n$维偏量。该表征将Hencky（或真）应变张量识别为线性（无穷小）应变张量$\varepsilon=\mathrm{sym}\nabla u$的自然非线性推广，其中$\varepsilon$是位移梯度$\nabla u$的对称部分，并揭示了线性弹性中经典二次各向同性能量势$$\mu\,\|\mathrm{dev}_n\mathrm{sym}\nabla u\|^2+\frac{\kappa}{2}\,[\mathrm{tr}(\mathrm{sym}\nabla u)]^2=\mu\,\|\mathrm{dev}_n\varepsilon\|^2+\frac{\kappa}{2}\,[\mathrm{tr}(\varepsilon)]^2$$与几何非线性二次各向同性Hencky能量$$\mu\,\|\mathrm{dev}_n\log U\|^2+\frac{\kappa}{2}\,[\mathrm{tr}(\log U)]^2=\mu\,\omega_{\rm iso}^2+\frac\kappa2\,\omega_{\rm vol}^2\,$$之间的紧密几何关系，其中$\mu$为剪切模量，$\kappa$为体积模量。我们的推导涉及正交极因子$R$的一个新的基本对数最小化性质，其中$F=R\,U$是$F$的极分解。我们也对比了先前试图直接将对数Hencky应变张量确立为非线性各向同性弹性中首选应变张量的其他方法。