哈代与拉马努金一个定理的初等证明

设 $Q(n)$ 表示满足其素因数分解 $q= \prod^{t}_{i=1}p^{a_i}_i$ 中 $a_1\geq a_2\geq \ldots \geq a_t$ 的整数 $1 \leq q \leq n$ 的个数。哈代与拉马努金证明了 $$\log Q(n) \sim \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \sqrt{\frac{\log(n)}{\log\log(n)}}\;.$$ 在证明上述精确渐近公式之前，他们详细研究了仅用纯初等方法关于 $Q(n)$ 所能得到的结果，而用此类方法只能得到粗略得多的上下界。本文表明，事实上有可能对哈代–拉马努金定理给出一个纯初等（且简短得多）的证明。为此，我们首先给出一个简单的组合论证，说明 $Q(n)$ 满足一个（伪）递推关系。这使得我们能用简短的归纳论证取代原证明中几乎全部的艰深分析部分。