一种高效精确的非线性分数阶黏弹性生物材料建模方法

计算生物力学在生物医学工程中扮演重要角色：利用建模理解病理生理、治疗与器械设计。尽管实验证据表明大多数组织的力学响应为黏弹性，计算界当前的生物力学模型常仅假设超弹性。分数阶黏弹性本构模型已在文献中成功用于捕捉材料响应。然而，这些模型向计算平台的转化仍然有限。许多实验导出的黏弹性本构模型不适合三维模拟。此外，分数阶导数的使用在计算上可能难以承受，当前若干数值逼近的计算代价为 $\mathcal{O} ( N_T^2)$、存储代价为 $\mathcal{O}(N_T)$（$N_T$ 表示时间步数）。本文中，我们提出一种对 Caputo 导数的新颖数值逼近，其利用类似于用于离散经典时间导数的递推关系，给出计算代价为 $\mathcal{O} (N)$、存储代价随时间固定的方法。该逼近针对数值应用优化，并给出误差估计以展示方法效能。该方法在线性黏弹性情形下被证明无条件稳定。随后将其集成入计算生物力学框架，若干数值算例验证了方法的精度与计算效率，包括解析测试、解析分数阶微分方程以及计算生物力学模型问题。