引力坍缩的近似处理

本研究探讨了一个简化模型，该模型描述了初始均匀无限介质（由 $\TT^d$ 表示）的引力不稳定性，其基于平均流体速度始终与局部加速度成正比的近似。研究表明，在数学上，这一假设导出了 J"ager 和 Luckhaus 所考虑的受限 Patlak-Keller-Segel 模型，或者等价地，导出了描述自引力布朗粒子运动的 Smoluchowski 方程，该方程耦合了适用于无限质量分布的修正牛顿势。我们讨论了该模型非局部推广的一些基本性质，其中有效压力由分数阶拉普拉斯算子（$0<\alpha<2$）给出，并通过数值模拟进行了说明。证明了 Sobolev 空间中的局部适定性，展示了方程的平滑效应，以及关于 $\rhomax$ 的\emph{Beale-Kato-Majda}型判据。还表明，当反向考虑时间时，该问题在 Sobolev 空间中是不适定的。最后，我们证明了在临界情况（一个守恒导数和一个耗散导数）下，对于足够大的压力，$\rhomax(t)$ 根据初始数据是一致有界的。