与 Andrews 奇偶性考虑相关的一种 Andrews-Gordon 型恒等式

Andrews 研究了 Rogers-Ramanujan-Gordon 定理中的奇偶性条件。在偶数部分或奇数部分出现偶数次的条件下，Andrews 发现了两个 Rogers-Ramanujan-Gordon 型分拆定理，并推导了相应的生成函数。在 Rogers-Ramanujan-Gordon 定理中，有两个参数 $k$ 和 $a$，其中 $k-1$ 是连续部分 $l$ 和 $l+1$ 的最大数目，$a-1$ 是等于 $1$ 的部分的最大数目。Andrews 的第一个定理处理 $k\equiv a \;(\rm{mod}\;2)$ 的情况，而第二个定理涉及 $k$ 为偶数且 $a$ 为奇数的情况。这两个分拆恒等式在右侧具有不同的无穷乘积形式。在本文中，我们考虑 $k\not\equiv a \;(\rm{mod}\;2)$ 的情况，并使用 Bailey 引理获得了一个 Andrews-Gordon 型恒等式，其右侧与 Andrews 在 $k\equiv a \;(\rm{mod}\;2)$ 情况下的恒等式右侧一致。我们无法用分拆为该表达式的无穷和形式找到合适的组合解释，但借助格点路径，我们提供了一个恰当的组合解释。