Levine帽子问题解析框架：新策略、界限与推广

我们研究了2010年由Lionel Levine提出的Levine帽子问题，这是一个合作性谜题，其中$n \geq 2$的玩家必须同时识别自己无限栈上的黑帽，每位玩家只能看到队友的栈。尽管最优获胜概率$V_n$即使$n=2$也仍未知，但我们作出了三个重要进展。首先，我们发展了几何和积分框架将策略表示为 Lebesgue可测函数，得到$V_n$的新积分表达式，并统一处理有限和无限栈。其次，我们构造递归策略$\mathscr{S}_5$以五个帽子为一组处理，达到两名玩家的 conjectured 最优概率$7/20$。尽管该界限已由已知策略$\mathscr{S}_3$实现，但$\mathscr{S}_5$的存在否定了递归策略块大小大于三仍无改进的先前观念，并产生了更好的几何收敛率$V_{2,h}$以及$7/20$的下界$7/20$。基于此，我们将$7/20$的几何收敛率提高到接近最优的$1/4^{1-\varepsilon}$（任取$\varepsilon > 0$）。第三，我们引入并完全解决了一个推广问题，玩家获得不可数无限帽子栈，显示该设置下的最优获胜概率对所有$n \geq 2$恰为$1/2$。这种新形式化允许使用分析优化工具来研究原始组合问题，并为计算针对固定策略的最优响应提供自然框架。