交错符号五边形与 Magog 五边形

交错符号三角形由 Ayyer、Behrend 与 Fischer 于 2016 年提出，并被证明具有 n 行的交错符号三角形数量与 n×n 交错符号矩阵数量相同。此后 Fischer 针对统计量 $\rho$ 给出了交错符号三角形的精细计数，其分布与交错符号矩阵顶行中唯一 1 的分布相同，方法是将交错符号三角形联系到 $(0,n,n)$-Magog 梯形。我们引入两个更多统计量，分别计数交错符号三角形中左侧与右侧的全 $0$ 列，得到称为交错符号五边形的对象。随后我们证明了这些交错符号五边形与特定形状的 Magog 五边形在考虑统计量 $\rho$ 下的等数性。进一步，我们推导了这些交错符号五边形关于统计量 $\rho$ 的生成函数，表示为 Pfaffian，并探讨了新结果对一些开放猜想的启示。