对角对称交错符号矩阵
组合数学
2023-09-18 v1 数学物理
math.MP
摘要
本文研究对角对称交错符号矩阵（DSASM）的计数问题，并获得了任意固定大小的 DSASM 个数的 Pfaffian 公式，其中 Pfaffian 的元为由简单二项式系数表达式给出的正整数。该结果提供了交错符号矩阵对称类中已知的首个精确计数公式案例，其中似乎不存在简单的乘积公式。我们还获得了与若干自然统计量相关的 DSASM 生成函数的 Pfaffian 公式，包括 DSASM 中非零严格上三角元个数、DSASM 中非零对角元个数，以及 DSASM 第一行中唯一 1 所在的列。这些结果的证明涉及引入一种六顶点模型的变体，其构型与固定大小的 DSASM 一一对应，并获得了其配分函数的 Pfaffian 表达式。我们还得到了各种进一步的结果与猜想，包括一些与偏离对角对称交错符号矩阵的精确计数相关的，以及一些与 DSASM 及其他交错符号矩阵类的渐近计数相关的。
引用
@article{arxiv.2309.08446,
title = {Diagonally symmetric alternating sign matrices},
author = {Roger E. Behrend and Ilse Fischer and Christoph Koutschan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2309.08446},
year = {2023}
}
备注
69 pages