高斯噪声信道下的 $\alpha$-互信息

本文研究了在高斯噪声信道背景下 Sibson 的 $\alpha$-互信息。虽然经典情形 $\alpha=1$ 已被充分理解，并与估计理论量（如最小均方误差 MMSE 和 Fisher 信息）存在深刻联系，但对于一般 $\alpha$ 的相应结构性质仍鲜有探索。本文旨在系统化地理解高斯噪声环境下的 $\alpha$-互信息，并识别哪些性质可超越香农情形延伸。为此，我们建立了若干规律性质，包括 finiteness 条件、关于信噪比 (SNR) 和输入分布的连续性，以及确保关联优化问题唯一性的严格concavity/convexity性质。核心贡献是发展 $\alpha$-I-MMSE 关系，推广经典身份，将 $\alpha$-互信息关于 SNR 的导数与在适当倾斜分布下评估的 MMSE 关联。该关系进一步导致广义 de Bruijn 身份和 R\'enyi 熵及微分 R\'enyi 熵的新的估计理论表示。我们还 characterize 了低 SNR 和高 SNR 行为。在低 SNR 条件下，一阶行为仅取决于输入方差。在高 SNR 条件下，对于离散输入，$\alpha$-互信息收敛于阶为 $1/\alpha$ 的 R\'enyi 熵；对于一般输入，我们将其与 $\alpha$-信息维度联系起来。总体而言，本文表明许多信息与估计之间的基本关系可在涉及 $\alpha$-倾斜分布的形式下延伸至香农之外。