与$\alpha$-连分数相关的广义 Brjuno 函数

对于区间 $[0,1]$ 中的 $\alpha$，我们考虑单参数族的 $\alpha$-连分数映射，其中包括 Gauss 映射（$\alpha=1$）、最近整数（$\alpha=1/2$）和超额（$\alpha=0$）连分数映射。对于这些展开中的每一个，以及对于区间 $I_\alpha=(0,\max(\alpha,1-\alpha))$ 上正函数 $u$ 的每一种选择，我们关联一个广义 Brjuno 函数 $B_{\alpha,u}(x)$。对于 $\alpha=1/2$ 或 $\alpha=1$ 且 $u(x)=-\log(x)$ 的情况，这些函数由 Yoccoz 在其关于全纯映射线性化的工作中引入。它们的正则性性质，包括 BMO 正则性及其到复平面的扩展，已得到深入研究。我们比较了不同 $\alpha$ 值获得的函数，并证明了 $(\alpha,u)$-Brjuno 数的集合不依赖于 $\alpha$ 的选择，前提是 $\alpha>0$。随后，我们考虑 $\alpha=0$，$u(x)=-\log(x)$ 的情况，并证明了 $x$ 是 Brjuno 数（对于 $\alpha>0$）当且仅当 $x$ 和 $-x$ 都是 $\alpha=0$ 时的 Brjuno 数。