非线性扩张映射的类 Brjuno 函数：分数阶导数与正则性二分法

上同调方程在动力系统中频繁出现。最经典的例子之一是 Liv\v{s}ic 方程 $$v(x) = \alpha \circ F(x) - \alpha(x).$$ 当 $F$ 是双曲动力系统（例如圆周的扩张映射）且 $v$ 是 H"older 函数时，其解 $\alpha$ 的存在性与正则性已被充分理解。而 $\textbf{扭曲上同调方程}$ $$v(x) = \alpha \circ F(x) - (DF(x))^\beta \, \alpha(x)$$ 则远未被充分理解。与著名的 Brjuno、Weierstrass 和 Takagi 函数相似的函数作为该方程的解出现。该泛函方程也出现在 M. Lyubich 以及 Avila、Lyubich 和 de Melo 研究类二次映射与实解析映射形变的工作中。然而，当 $F$ 是圆周的线性自同态且 $v$ 非常正则时，关于解 $\alpha$ 的正则性（或其缺失）存在一些引人注目的结果。 notable 贡献包括 Berry 和 Lewis；Ledrappier；Przytycki 和 Urba\'nski，以及近期 Bara\'nski、B\'ar\'any 和 Romanowska，还有 Shen 以及 Ren 和 Shen 关于 Takagi 和 Weierstrass（及类 Weierstrass）函数的工作。我们研究了当 $F$ 是圆周的 $\textbf{非线性}$ 扩张映射且 $v$ 不可微甚至不连续时解 $\alpha$ 的正则性，在这一设定下，先前使用的横截性技术似乎不再适用。这种新方法利用分数阶导数将对扭曲上同调方程的研究转化为对相应 Liv\v{s}ic 上同调方程的研究，并证明所得的分布解（Schwartz 意义下）满足特定的中心极限定理。