Alon 的发射问题与多色 Beck--Spencer 引理

Hamming 图 $H(n,q)$ 定义在顶点集合 $\{1,2,\ldots,q\}^n$ 上，两个顶点当且仅当它们在恰好一个坐标上不同时相邻。Alon（1992）证明了对于任意长度为 $b=\lceil n/2 \rceil$ 的顶点序列 $v_1,\ldots,v_b$，必存在一个顶点，其到 $v_i$ 的距离至少为 $b-i+1$（其中 $1 \leq i \leq b$）。本文证明了对于任意 $q \geq 3$ 和任意长度为 $b=\lfloor (1-\frac{1}{q})n \rfloor$ 的顶点序列 $v_1,\ldots,v_b$，同样存在这样一个顶点，其到每个 $v_i$ 的距离至少为 $b-i+1$。Alon 使用了 Beck 和 Spencer（1983）的引理，而该引理又基于 Beck 和 Fiala（1981）引入的浮动变量方法。对于我们的证明，我们采用 Doerr 和 Srivastav（2003）提出的浮动变量方法的多色版本来扩展 Beck--Spencer 引理。