具有对所有仿射簇皆泛的主丛的代数群

设 $k$ 为一个域，$G$ 为 $k$ 上的仿射代数群。如果一个 $G$-主丛能特化到 $\cal C$ 中任意 scheme 上的每个 $G$-主丛，则称其对于 $k$-scheme 类 $\cal C$ 是弱泛的 (weakly versal)。第一作者、Reichstein 和 Williams 最近的结果表明，对于任意 $d\geq 0$，存在一个定义在有限型 $k$-scheme 上的 $G$-主丛，其对于维数至多为 $d$ 的有限型仿射 $k$-scheme 是弱泛的。第一作者还观察到，如果 $G$ 是单幂零的 (unipotent)，则 $G$ 允许一个定义在有限型 $k$-scheme 上的主丛，其对所有仿射 $k$-scheme 是弱泛的；反之，若 $\operatorname{char} k=0$ 亦成立。本文将此结果推广到所有域，证明 $G$ 是单幂零的当且仅当它允许一个定义在拟紧底上的 $G$-主丛，其对所有有限型正则仿射 $k$-scheme 是弱泛的。我们的证明不依赖于特征，并导出了一个定量结论：如果 $G$ 是 $\mathbf{GL}_n$ 的非单幂零子群，则定义在维数为 $d$ 的拟射影 $k$-scheme 上的 $G$-主丛，对于维数为 $n(d+1)+2$ 的有限型正则仿射 $k$-scheme 不是弱泛的。这意味着特别地，每个这样的 $G$ 在正则仿射 $(n+2)$ 维簇上都存在非平凡主丛。当 $G$ 包含非平凡环面时，我们证明非平凡主丛已经存在于 3 维光滑仿射簇上（即使 $G$ 是特殊的），且这在一般情况下是最优的。在证明过程中，我们表明对于每个 $m,\ell\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ 且 $\ell\neq 1$，存在一个光滑仿射 $k$-scheme $X$，其携带一个不能由 $m$ 个全局截面生成的 $\ell$-挠线丛。此外，我们研究了此类 $X$ 的最小可能维数，并证明其为 $m$、$m+1$ 或 $m+2$。