重温 Airy、Beltrami、Maxwell、Morera、Einstein 与 Lanczos 势

本文的主要目的是重新审视那些被称为应力函数的著名势，这些势用于研究应力方程的参数化：G.B. Airy (1863) 针对二维弹性力学提出，随后 E. Beltrami (1892)、J.C. Maxwell (1870) 与 G. Morera (1892) 针对三维弹性力学提出，最后 A. Einstein (1915) 针对四维弹性力学提出；并且都借助了 C. Lanczos (1949,1962) 引入的变分方法，以将势与拉格朗日乘子联系起来。利用代数分析的方法，即把微分几何与同调代数相结合，并将所涉及的双重对偶检验与 Spencer 上同调相结合，我们能够将上述结果推广到具有任意维数 n 的任意情形。我们还将解释为何双重对偶非常适合于带微分约束的变分法，以此消除相应的拉格朗日乘子。例如，应力方程的典范参数化恰好由线性化黎曼张量的 n^2(n^2-1)/12 个分量作为线性二阶微分算子的形式伴随所描述，但在弹性理论中，任何极小参数化所需势的最少数量为 n(n-1)/2。同时，我们无需像当今任何教科书那样使用指标书写显式公式，即可给出上述所有结果。我们给出了 n=4 的相对论连续介质力学例子，以证明若不使用上述方法，严格不可能得到此类结果。我们还重新审视了为物理学中其他各种方程获得典范或极小参数化的可能性（电磁学的 Maxwell 方程）或不可能性（引力的 Einstein 方程）。然而需注意，当已知 n 及所提出的算法时，大多数计算可借助计算机进行相应的符号计算来完成。最后，尽管本文面向数学，旨在为弹性理论及数学物理的数学基础提供新见解，但其表述相当自洽。