伴随及其在科学、工程与数学中的作用：一篇教程

本文协同整合了伴随（adjoint）在数学、科学与工程诸多学科中的作用。尽管所开发与呈现的材料并非新颖——因其各自或某些可在不同领域的出版物中找到（或推断得出）——我们认为这是首次从基本定义出发、在同一数学基础上系统统一这些材料的努力。我们旨在提供对伴随应用的统一视角与理解。因此，本工作可超越单一社群，给出关于伴随应用的更广阔视野与更佳洞见。通过严格建立一般性结果并进而开发针对各应用的材料，我们阐明了抽象概念/定义如何转化为特定应用及其间联系。本文写为一篇关于伴随的交叉学科教程，含讨论与来自不同领域的诸多示例，包括线性代数（如特征分解与奇异值分解）、常微分方程（传染病模型的渐近稳定性）、偏微分方程（椭圆型、双曲型与 Friedrichs 型的不适定性）、神经网络（前馈深度神经网络的反向传播）、最小二乘与反问题（带 Tikhonov 正则化）以及 PDE 约束优化。论述涵盖有限维与无限维 Hilbert 空间中的结果与应用。