利用 Physics-Informed Neural Networks 解决无质量标量场的引力坍缩问题

无质量标量场的引力坍缩是数值相对论中考验数值方法的基准问题，因其在色散与黑洞形成边界处呈现临界行为。本文通过依赖 Physics-Informed Neural Networks（PINN）作为偏微分方程的灵活求解器，重新审视此问题，并提供了几种近期神经网络架构的比较评估。基于 Einstein-无质量-Klein-Gordon 公式在极径坐标中的表述，我们考虑四个初始值问题涵盖亚临界、临界和超临界情形，并使用高分辨率有限差分仿真作为参考解。我们的研究主要具有比较性：我们评估了多种最新深度学习架构，包括 vanilla 和高精度 PINN、正弦特征和二次残差变体，以及 Kolmogorov-Arnold 网络（KAN），所有方法均在统一的损失设计下训练，该设计编码场方程、边界条件和因果时空约束，以及一种新型自适应时空抽样。我们也在此框架下引入了 ModPINN，即对标准 PINN 的一种适度修改，通过在多层感知器（MLP）中加入坐标嵌入、二次层及其他近期文献中常见的成分来增强。本研究表明，基于深度学习的方法可在显著减少样本点数目的情况下，以竞争精度复现标量场和时空度规的有限差分解。虽然没有单一架构在所有情形下都占据优势，但 ModPINN 在临界附近实现了尤其稳定和准确的解，表明合理设计的嵌入和自适应抽样可增强 PINN 在挑战性引力坍缩情景中的鲁棒性。