求解奇异常微分方程的深度学习方案：从特殊函数到球对称吸积

在描述流体动力学、电磁学和引力等物理现象的微分方程中，常出现正则奇点。传统的数值技术在这些点附近常常失效或不稳定，需要结合使用半解析工具（如级数展开和微扰方法）与数值算法，或调用更复杂的方法。在这项工作中，我们另辟蹊径，利用机器学习的力量，将物理信息神经网络（PINN）作为一种现代方法来求解具有奇点的常微分方程。PINN利用深度学习架构，通过将微分方程嵌入神经网络的损失函数中来逼近解。我们讨论了PINN在处理奇点方面的优势，特别是它们能够绕过传统的基于网格的方法，并在不规则区域提供平滑近似。我们使用了诸如自适应损失加权等技术来提高PINN在奇点附近的精度，以实现网络训练的高效率。我们通过研究数学和引力领域中四个有趣的微分方程来展示我们的结果——勒让德方程、超几何方程、洛伦兹违反引力理论中黑洞时空的解，以及史瓦西几何中完美流体的球对称吸积。