真子图 minor 闭类中色数的加法不可近似性

Robin Thomas 曾提出疑问：对于每一个真子图 minor 闭类 C，是否存在一种多项式时间算法，能够以独立于类 C 的常数加法误差来近似 C 中图的色数？我们证明了事实并非如此：除非 P=NP，否则对于每个整数 k>=1，不存在多项式时间算法能用至多 chi(G)+k-1 种颜色对无 K_{4k+1}-minor 的图 G 进行着色。更一般地，对于每个 k>=1 和 1<=\beta<=4/3，不存在多项式时间算法能用少于 beta.chi(G)+(4-3beta)k 种颜色对无 K_{4k+1}-minor 的图 G 进行着色。据我们所知，这是关于真子图 minor 闭类中色数的第一个非平凡不可近似性结果。我们还给出了针对不含 4-团块的 K_{4k+1}-minor 自由图的稍弱不可近似性界限。在积极方面，我们提出了一种加法误差依赖于禁止 minor 的顶点数（apex number）的近似算法，以及在图不含 4-圈的附加假设下加法误差为 6 的算法。