循环矩阵加群的可加能量与矩阵指数函数的特征和

我们对方程 $A^{x_1} + A^{x_2} = A^{x_3} + A^{x_4}$，$1 \le x_1,x_2,x_3,x_4 \le \tau$ 的解数获得了非平凡上界，其中 $A$ 是含 $q$ 个元素的有限域 ${\mathbb F}_q$ 上固定的 $n\times n$ 矩阵，其乘法阶为 $\tau$。当 $n=2$ 时，该方程由 Kurlberg 与 Rudnick (2001) 在研究 ${\mathbb F}_q$ 上线性映射的量子遍历性时考虑过。此外，其多变量类比（同样 $n=2$）由 Bourgain (2005) 研究过。我们将结果应用于获得矩阵指数函数加性特征和的新上界，该上界在平方根阈值之外仍为非平凡，并应用于某个矩阵加性问题。我们的结果对具有不可约特征多项式的 ${\rm SL}(n,q)$ 矩阵尤其强。