q-圆盘多项式的加成公式

本文旨在利用某些量子群理论，给出所谓 $q$-圆盘多项式的一个加成公式。该结果是约 1970 年由 ${\breve{\text S}}$apiro [S] 与 Koornwinder [Koo1,2] 独立证明的一个结果的 $q$-类比。他们考察了齐次空间 $U(n)/U(n-1)$，其中 $U(n)$ 表示向量空间 $\C^n$ 上的酉变换群，并将相应的球带函数识别为圆盘多项式（采用 [Koo2] 的术语）。这些是二元正交多项式，其正交测度由复平面中闭单位圆盘支撑，并且对某些整数值的参数 $\a$ 与 $\b$ 可用 Jacobi 多项式 $P_n^{(\a,\b)} (x)$ 表示。相应的球函数也被证明可用圆盘多项式表示，并由此对（正的）整数值 $\a$ 与 $\b$ 证明了一个加成公式。通过一个简单的论证，该恒等式随后被推广到 $\a$ 的所有复数值（由此 Koornwinder 甚至导出了一般 Jacobi 多项式的加成公式）。事实上，本文的论证思路与结果将非常类似于 [Koo2] 中的（部分）内容与结果。