欧几里得量子引力中的作用量与观测者依赖性

给定一个洛伦兹时空$(M, g)$和一个非零类时向量场$u(\lambda)$及其水平面$\Sigma$，可以在$M$上构造一个欧几里得度量$g_E^{ab} = g^{ab} + 2 u^a u^b$。受此启发，我们考虑一类度量$\hat{g}^{ab} = g^{ab} - \Theta(\lambda)\, u^a u^b$，其中$\Theta$是一个任意函数，在欧几里得（$\Theta=-2$）和洛伦兹（$\Theta=0$）区域之间插值。欧几里得区域通常不同于通过Wick旋转$t \rightarrow - i t$得到的区域。例如，如果$g_{ab}$是$\Lambda>0$对应的$k=0$洛伦兹德西特度量，则$\hat{g}_{ab}$的欧几里得区域是$\Lambda<0$的$k=0$欧几里得反德西特空间。我们分析了对于任意洛伦兹度量$g$和类时测地场$u^a$，与$\hat{g}$相关的曲率张量，并表明它们具有有趣且显著的数学结构：(i) 在$\hat{g}_{ab}$的欧几里得区域$\Theta \to -2$中出现了额外项。(ii) 对于$\Theta$的最简单阶梯轮廓选择，在洛伦兹区域$\Theta \to 0$中，$\hat{g}_{ab}$的Ricci标量Ric$[\widehat{g}]$简化为完整的爱因斯坦-希尔伯特拉格朗日量，并带有正确的Gibbons-Hawking-York边界项；后者作为支撑在$\Sigma_0$上的强度为$2K$的δ函数出现。(iii) 在欧几里得区域$\Theta \to -2$中，Ric$[\hat{g}]$还有一个来自$u$叶状结构的额外项$2\, {}^3 R$。我们强调了完整黎曼张量中类似的叶状结构依赖项。我们给出了一些显式例子，并简要讨论了这些结果对欧几里得量子引力和量子宇宙学的意义。