具有涡旋奇异性的 Zermelo 导航问题
最优化与控制
2020-07-14 v2
摘要
不可压缩流体平面中涡旋运动的 Helmholtz-Kirchhoff 方程定义了一种带奇异性的动力学，这导出了一个 Zermelo 导航问题，用于描述船舶在此类场中的航行，其中控制量为船头方向角。考虑单个涡旋，我们定义了一个时间最小化问题，可借助几何最优控制技术结合数值模拟进行分析，其几何框架为穿平面（punctured plane）上具有旋转对称性的 Randers 度量的推广。候选极小化曲线通过 Pontryagin 极大值原理参数化为哈密顿向量场的极值解。我们分析了将船舶在两个点之间转移的时间最小解，在转移过程中船舶可能处于涡旋附近强流区或弱流区。该分析基于极值曲线的微局部分类，主要利用由旋转对称性带来的动力学可积性。讨论较为复杂，并与由涡旋奇异性导致的孤立极值（Reeb）圆之存在相关。给出了极值曲线不再最优的割点（cut points）的显式计算，并描述了初值点处水流较弱情形下的球面（spheres）。
引用
@article{arxiv.1911.01109,
title = {A Zermelo navigation problem with a vortex singularity},
author = {Bernard Bonnard and Olivier Cots and Boris Wembe},
journal= {arXiv preprint arXiv:1911.01109},
year = {2020}
}