关于超可定义集同伦的 Vietoris-Smale 映射定理

Smale (1957) 和 Dugundji (1969) 的结果允许在给定一个具有强纤维连通性条件的映射 $f:X\to Y$ 时，比较两个拓扑空间 $X$ 和 $Y$ 的同伦群。我们在域的 o-极小扩张中应用类似技术，以比较可定义集 $X$ 的 o-极小同伦与其某些有界超可定义商 $X/E$ 的同伦。在适当假设下，我们证明 $\pi_{n}(X)^{\rm def}\cong\pi_{n}(X/E)$ 且 $\dim(X)=\dim_{\mathbb R}(X/E)$。作为一个特例，给定一个可定义紧群，我们获得了 Pillay 群猜想 “$\dim(G)=\dim_{\mathbb R}(G/G^{00}$)” 的一个新证明，该证明在很大程度上独立于 $G$ 的群结构。我们还获得了经典同伦与 o-极小同伦之间各种比较结果的不同证明。