角定理的一个变体

角定理指出，对于任意 $\alpha > 0$，存在 $N_0$，使得对于任意满足 $|G| = N \geq N_0$ 的阿贝尔群 $G$ 以及任意满足 $|A| \ge \alpha N^2$ 的子集 $A \subset G \times G$，我们可在 $A$ 中找到一个角，即存在 $x, y, d \in G$ 且 $d \neq 0$，使得 $(x, y), (x+d, y), (x, y+d) \in A$。此处，我们考虑一个更强的版本：给定这样的群 $G$ 与子集 $A$，对每个 $d \in G$ 定义 $S_d = \{(x, y) \in G \times G : (x, y), (x+d, y), (x, y+d) \in A\}$。因此 $|S_d|$ 是大小为 $d$ 的角的个数。是否确实只要 $N$ 足够大，就必存在某个 $d \in G \setminus \{0\}$ 使得 $|S_d|> (\alpha^3 - \epsilon ) N^2$？我们对这一问题给出否定回答。为此我们将该问题关联到一个看似简单得多的关于随机变量的问题。然后，利用这一联系，我们证明存在集合 $A$ 使得对所有 $d \neq 0$ 有 $|S_d| < C\alpha^{3.13} N^2$，其中 $C$ 为绝对常数。我们还证明在 $G = \mathbb{F}_2^n$ 的特殊情形下，总能找到 $d$ 满足 $|S_d|> (\alpha^4 - \epsilon ) N^2$。