三维角点：一种箱范数证明

在加法群 $(G,+)$ 中，三维角点是指四个点 $g, g+d(1,0,0), g+d(0,1,0), g+d(0,0,1)$，其中 $g \in G^3$，$d$ 是 $G$ 中的非零元素。感兴趣的 Ramsey 数是 $R_3(G)$，即 $G^3$ 中不包含三维角点的子集的最大基数。Furstenberg 和 Katznelson 已证明 $R_3(\mathbb{Z}_N)$ 是 $N^3$ 的高阶无穷小量，事实上该结论在所有维数均成立，这是 Szemerédi 定理的一个深远推广。我们给出了这一事实在有限域版本的新证明，该证明是对 Gowers 关于四项等差数列的 Szemerédi 定理证明以及 Shkredov 关于二维角点结果的共同推广。主要工具是 Gowers 箱范数。