Szemerédi定理的新界值，III：关于$r_4(N)$的多对数界

定义$r_4(N)$为集合$A \subset \{1,\dots,N\}$的最大基数，该集合不包含四项等差数列。1998年Gowers证明对于某个绝对常数$c>0$，有$$r_4(N) \ll N(\log \log N)^{-c}$$。2005年，作者将其改进为$$r_4(N) \ll N e^{-c\sqrt{\log\log N}}.$$在本文中我们进一步将其改进为$$r_4(N) \ll N(\log N)^{-c}$$，这似乎是我们方法的极限。